La relación entre las derivadas y las integrales al
momento no es del todo clara. Por un lado, las derivadas hacen referencia a la
solución de un problema que consiste en hallar la pendiente de la recta tangente
a una curva en un punto, en tanto que las integrales se enfocan en encontrar el
área bajo una gráfica. Sin embargo, estas dos operaciones tienen una fuerte
conexión, fueron Isaac Newton y Gottfried Leibniz quienes de manera
independiente uno del otro estudió esta relación, y es enunciada como el Teorema
Fundamental del Cálculo.
Primer Teorema Fundamental del Cálculo.
Si
f es una función continua sobre el
intervalo [a, b] y es una derivada
de f en [a,
b], entonces:
De esta manera, sabemos que con la antiderivada es
posible calcular la integral definida y, por ejemplo, hallar el área bajo la
gráfica de funciones de forma más sencilla.
Para usar este teorema basta con saber una antiderivada
y evaluarla en los límites, la notación más común para este paso es la
siguiente:
Observa que no es necesario agregar constantes de
integración a F, puesto que al
hacer la resta de los valores en a
y b las constantes se eliminan.
En la ecuación del Primer Teorema Fundamental del
Cálculo, en la que f(x)=F’(x), ya
que
es antiderivada de , se está integrando una función que es
la derivada de otra. Para hacer la operación inversa sería necesario que la
integral definida fuera una función (recordemos que es un número fijo).
Para lograrlo, no se considera el valor del área desde
hasta sino desde hasta
un punto ∈
[,
]. El
resultado de la operación de derivar esta nueva función definida a partir de una
integral está enunciado en el siguiente
teorema.
Segundo Teorema Fundamental de Calculo.
Si
es
continua en un intervalo abierto que contiene a , entonces,
para todo en el
intervalo:
En esta
definición pueden verse dos variables x, t. La variable , la cual
está dentro de la integral. Es decir, la variable de integración puede ser
cambiada sin problema y no afecta el sentido de la función. A esto se le llama
ser una variable muda. Lo que ocurre es que la variable t
representa
algo que se mueve en el intervalo [a,
x]. Al integrar sobre ese intervalo, resulta un número,
por lo que la función que se define por medio de la integral en realidad es una
función y, por tanto, podría ser derivable.
Otro teorema que conviene mencionar es el Teorema del
Cambio Neto, el cual es útil para determinar el cambio total a partir de la
razón de cambio.
Teorema del Cambio Neto.
La integral definida de la razón de cambio de una
cantidad F(x) proporciona el cambio
total o cambio neto de esa cantidad sobre el intervalo [a,
x]. En otras palabras:
Por ejemplo, cuando una partícula s
se mueve s(t) representa la
posición del tiempo t, su velocidad
está dada por v(t)=s’(t); entonces,
el cambio neto en posición de la partícula esta dado
por:
Hasta aquí se ha dado una breve introducción a lo que
son los teoremas fundamentales del cálculo. Se llaman así no porque sean
totalmente indispensables siempre, sino porque de ellos se obtiene los
principales resultados en la teoría del cálculo diferencial e
integral.
Para aplicarlos de manera correcta en problemas reales,
en general va a ser necesario obtener primitivas de funciones bastante
complejas, por lo que será necesario aprender todos los métodos de integración.
No obstante, un ejemplo sencillo a considerar es el del trabajo realizado por
una fuerza al mover un objeto a cierta distancia, la cual se describe e a
continuación.
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Ejemplo 1
Cálculo
del trabajo realizado por una fuerza.
De cursos
previos en secundaria, por ejemplo, se estudia que el trabajo que realiza una
fuerza para mover un objeto en una cierta distancia puede determinarse
simplemente multiplicando la fuerza por la distancia, es
decir:
Además, si la fuerza se dirige en sentido contrario a la
del desplazamiento, entonces el trabajo es negativo; si es en el mismo sentido
es positivo; y si la fuerza y el desplazamiento van en direcciones que son
perpendiculares, entonces el trabajo que realiza esa fuerza es 0.
En términos más generales, cuando la fuerza está en un
ángulo que no es completamente horizontal o vertical, entonces el trabajo se
define como:
Comúnmente, estos planteamientos son correctos cuando
la fuerza es constante, es decir, cuando la fuerza siempre es la misma sin
importar la posición en la que se encuentre. También es posible que la fuerza
cambie, dependiendo de la posición en la que esté el objeto. Para considerar
una función fácil de trabajar, supongamos que la fuerza cambia en cada punto de
su recorrido debido a f(x)=-x3+x2+2x+1.
Si se quiere calcular el trabajo que realiza esta
fuerza para mover un objeto desde la posición 0 hasta la posición 2, es decir,
una distancia de 2 unidades se debe calcular:
En general, el trabajo que realiza una fuerza para
desplazar un objeto del punto
al punto se determina por:
Se tiene,
entonces, que el trabajo coincide con el área bajo la gráfica de la fuerza con
respecto a su posición. Para este caso, se procede a integrar la función que
define la fuerza en el intervalo [0,
2]:
Dado que se deben las propiedades de la integral y se
tiene una fórmula para integrar cada uno de los términos de la suma, así como
por el Teorema Fundamental del Cálculo, la integral
resulta:
De esta manera, cuando la fuerza es constante y
paralela al desplazamiento, calculamos solo el área de un rectángulo. De ahí que
la formula sea: w
=
F
•
d
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La integral ha sido presentada de las dos formas
principales como operación inversa de la derivada y a partir de la generación de
la noción de área bajo la gráfica, así como también la relación entre derivada e
integral a través de los teoremas fundamentales del
cálculo.
Este es solo el inicio, por lo que es necesario dominar
los razonamientos que se usaron en estos temas para desarrollar más herramientas
que permitan el estudio de problemas cada vez más complejos. La matemática es
una ciencia en desarrollo, así que también existen conceptos aún más abstractos
y que requieren mucho estudio y, para nuestro propósito, el cálculo es solo el
inicio de este fabuloso mundo matemático.
