Las curvas están en todas partes, aparecen en la naturaleza
y en los objetos que el hombre ha inventado, inventa o lo que crea, son perfectas
y preciosas, también pueden ser irregulares e infinitas, algunas deriven en su
cadencia movimientos fundamentales para la vida, otras nada más que
ornamentales, pero no por eso tienen menos mérito.
Einstein decía que la mente humana tiene que construir
formas antes de encontrarlas en las cosas; “quien no se ha versado en geometría,
no ha de entrar aquí”, esa es la frase que Platón escribió en la puerta de la
Academia de Atenas en el año 388 a.C en ese lugar se empezaban a formalizar los
primeros conceptos matemáticos heredados de Euclides.
Platón y sus discípulos estudiaron las
curvas que podrían ser construidas en la realidad como la circunferencia, por
ejemplo, la circunferencia es
cerrada, perfecta, donde todos los puntos se encuentran equidistantes al
centro, están todos a la misma distancia de este punto, a este segmento que une
al centro con cada uno de los puntos de la circunferencia se le denomina radio
(π), la circunferencia se
obtiene al realizar un corte paralelo a la base del cono.
A través de 2000 años de producción de conocimiento la forma
circular fue el modelo por excelencia que se utilizo para entender diferentes fenómenos.
Asi es como se imaginaban los aristotélicos la orbita del sol y tambien la de
la luna alrededor de la tierra, la pensaban como una órbita circular.
La
elipse es la segunda curva que uno
descubre al cortar un cono en corte diagonal, en su construcción la elipse
tiene dos focos y hay un eje mayor que el otro. En el siglo XVII de la mano de Johannes
Kepler esta curva provocó una revolución en la astronomía de la época, ya había
sido Nicolás Copérnico en el corazón del renacimiento el que había desplazado a
la tierra del centro del universo, un siglo después Kepler con la llegada de la
modernidad pareció que apartaba el circulo del reino de los cielos al
determinar que la órbita de los planetas es elíptica.
El
astrónomo y matemática alemán se dio cuenta de que el sol está justo en uno de
sus focos. Galileo Galilei, el hombre que enfrentó a la inquisición con sus
descubrimientos científicos, era inquieto y obstinado, además de pelearse con
la curia y realizar importantes observaciones astronómicas, Galilei identificó
el movimiento de la curva parabólica.
Galileo observo que en su trayecto la bala del cañón
disparada de forma oblicua tiende a bajar a la tierra formando una curva, es lo
mismo que sucede cuando se lanza cualquier proyectil hacia adelante como la
pelota en una cancha de básquet.
La
curva de Galileo es otra que se obtiene realizando una sección en el cono, pero
a diferencia de la elipse o la circunferencia se hace un corte diagonal que
llega hasta la base del cono debiendo guardar la misma inclinación que el cono.
Las parábolas están en todas partes.
Para graficar una hipérbola
hay que unir dos conos en forma de espejo y atravesarlas con mismo corte con
una inclinación mayor a la del cono.
La parábola, la hipérbola, la elipse y la circunferencia son
curvas cónicas. Sin embargo, existen curvas ligadas al movimiento, estas curvas
reciben el nombre de curvas mecánicas.
El dibujo que realiza un punto fijo de la
circunferencia cuando avanza por una recta se llama cicloide, este nombre le
fue dado por galileo Galilei que la estudió por 40 años. En el año de 1646 el matemático
Johann Bernoulli lanzó un desafío ¿Cuál es la curva que permite a un cuerpo
desplazarse entre un punto A y un punto B en el menor tiempo posible?, la
respuesta fue dada por Isaac Newton la curva que sirve como respuesta es la
llamada curva braquistócrona podemos
decir que es la curva cicloide, pero de manera invertida.
En
el siglo vii los relojes era una novedad Christian Huygens describió que cuando
un péndulo se mueve en el marco de una curva cicloide siempre va a tardar el
mismo tiempo en llegar al punto mas bajo, esta propiedad es la que se llama la tautócrona, con el compás uniforme del péndulo
la curva cicloide permite que el reloj ni se adelante ni se atrase y que el
cronómetro funcione casi a la perfección, dicho así por las restricciones físicas
y no por la matemáticas.
La
arquitectura es el principado de las rectas y los ángulos de 90º, el andamiaje
de la naturaleza es sin duda la curva, entre finales del siglo XIX y principios
del siglo XX el catalán Antonio Gaudí quiso unir los dos mundos y así nacieron
sus construcciones y objetos, obras de arte que revolucionaron en algún sentido
la arquitectura. Gaudí observaba que las estructuras que mantienen erguidos a
los arboles o los esqueletos que sostienen a los animales son muy distintos a
los planos que se dibujan con escuadra y compás, por supuesto que sirven para después
levantar un edificio, la naturaleza produce formas muy eficaces y antiguas
mucho mas viejas que las construcciones milenarias por razones obvias, así
pensaba Gaudí, por eso sus creaciones parecen salidas de un paisaje natural
pero además de ser bellas son sólidas, el catalán se valió en sus edificios de
las curvas catenarias porque son las
que soportan mejor el peso de una estructura un ejemplo de curva catenaria es
cuando uno sostiene una cadena de sus extremos y la somete a la acción de la
gravedad, el arquitecto utilizó distintos tipos de curvas, incluso la espiral logarítmica,
una curva donde la distancia a un punto fijo aumenta en forma constante.
En el siglo III a.C el matemático griego Arquímedes
de Siracusa le dedico un libro a la
espiral que hoy lleva su nombre, al mismo tiempo que sus contemporáneos se
dedicaban a las rectas, los círculos y triángulos, Arquímedes eligió estudiar
la manera de graficar una curva tan esquiva como laberíntica es lo que se llama
hoy la espiral arquimediana, el
crecimiento es uniforme y el radio va variando en forma proporcional al ángulo
que gire, las espiras son una igual a la otra como en una soga que se va
enrollando sobre si misma. En cambio, en la espiral de Bernoulli las espiras
van aumentando su tamaño, su crecimiento es exponencial.
Las dos espirales aparecen en la vida cotidiana,
pero es más común encontrar en la naturaleza la espiral logarítmica desde los animales mas pequeños hasta las
galaxias más desarrolladas, pero poco le falta a una espiral para considerarse
una poesía casi una obra de arte, tal vez por esta razón asombro a los hombres
de distintas culturas a través de todos los tiempos.
Las curvas fractales
surgen alrededor de la época de los 70’s, siendo el padre de este tipo de
curvas el matemático francés Benoit Mandelbrot, en un modelo artificial las
curvas fractales se convierten en infinitas, la estructura principal se puede
repetir incesantemente en cada uno de sus pequeños detalles, un ejemplo de ello
es el copo de nieve de Koch.
