Curvas

Las curvas están en todas partes, aparecen en la naturaleza y en los objetos que el hombre ha inventado, inventa o lo que crea, son perfectas y preciosas, también pueden ser irregulares e infinitas, algunas deriven en su cadencia movimientos fundamentales para la vida, otras nada más que ornamentales, pero no por eso tienen menos mérito.

Einstein decía que la mente humana tiene que construir formas antes de encontrarlas en las cosas; “quien no se ha versado en geometría, no ha de entrar aquí”, esa es la frase que Platón escribió en la puerta de la Academia de Atenas en el año 388 a.C en ese lugar se empezaban a formalizar los primeros conceptos matemáticos heredados de Euclides.

Platón y sus discípulos estudiaron las curvas que podrían ser construidas en la realidad como la circunferencia, por ejemplo, la circunferencia es cerrada, perfecta, donde todos los puntos se encuentran equidistantes al centro, están todos a la misma distancia de este punto, a este segmento que une al centro con cada uno de los puntos de la circunferencia se le denomina radio (π), la circunferencia se obtiene al realizar un corte paralelo a la base del cono.

A través de 2000 años de producción de conocimiento la forma circular fue el modelo por excelencia que se utilizo para entender diferentes fenómenos. Asi es como se imaginaban los aristotélicos la orbita del sol y tambien la de la luna alrededor de la tierra, la pensaban como una órbita circular.

La elipse es la segunda curva que uno descubre al cortar un cono en corte diagonal, en su construcción la elipse tiene dos focos y hay un eje mayor que el otro. En el siglo XVII de la mano de Johannes Kepler esta curva provocó una revolución en la astronomía de la época, ya había sido Nicolás Copérnico en el corazón del renacimiento el que había desplazado a la tierra del centro del universo, un siglo después Kepler con la llegada de la modernidad pareció que apartaba el circulo del reino de los cielos al determinar que la órbita de los planetas es elíptica.

El astrónomo y matemática alemán se dio cuenta de que el sol está justo en uno de sus focos. Galileo Galilei, el hombre que enfrentó a la inquisición con sus descubrimientos científicos, era inquieto y obstinado, además de pelearse con la curia y realizar importantes observaciones astronómicas, Galilei identificó el movimiento de la curva parabólica.

Galileo observo que en su trayecto la bala del cañón disparada de forma oblicua tiende a bajar a la tierra formando una curva, es lo mismo que sucede cuando se lanza cualquier proyectil hacia adelante como la pelota en una cancha de básquet.

La curva de Galileo es otra que se obtiene realizando una sección en el cono, pero a diferencia de la elipse o la circunferencia se hace un corte diagonal que llega hasta la base del cono debiendo guardar la misma inclinación que el cono. Las parábolas están en todas partes.

Para graficar una hipérbola hay que unir dos conos en forma de espejo y atravesarlas con mismo corte con una inclinación mayor a la del cono.

La parábola, la hipérbola, la elipse y la circunferencia son curvas cónicas. Sin embargo, existen curvas ligadas al movimiento, estas curvas reciben el nombre de curvas mecánicas.

El dibujo que realiza un punto fijo de la circunferencia cuando avanza por una recta se llama cicloide, este nombre le fue dado por galileo Galilei que la estudió por 40 años. En el año de 1646 el matemático Johann Bernoulli lanzó un desafío ¿Cuál es la curva que permite a un cuerpo desplazarse entre un punto A y un punto B en el menor tiempo posible?, la respuesta fue dada por Isaac Newton la curva que sirve como respuesta es la llamada curva braquistócrona podemos decir que es la curva cicloide, pero de manera invertida.

En el siglo vii los relojes era una novedad Christian Huygens describió que cuando un péndulo se mueve en el marco de una curva cicloide siempre va a tardar el mismo tiempo en llegar al punto mas bajo, esta propiedad es la que se llama la tautócrona, con el compás uniforme del péndulo la curva cicloide permite que el reloj ni se adelante ni se atrase y que el cronómetro funcione casi a la perfección, dicho así por las restricciones físicas y no por la matemáticas.

La arquitectura es el principado de las rectas y los ángulos de 90º, el andamiaje de la naturaleza es sin duda la curva, entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX el catalán Antonio Gaudí quiso unir los dos mundos y así nacieron sus construcciones y objetos, obras de arte que revolucionaron en algún sentido la arquitectura. Gaudí observaba que las estructuras que mantienen erguidos a los arboles o los esqueletos que sostienen a los animales son muy distintos a los planos que se dibujan con escuadra y compás, por supuesto que sirven para después levantar un edificio, la naturaleza produce formas muy eficaces y antiguas mucho mas viejas que las construcciones milenarias por razones obvias, así pensaba Gaudí, por eso sus creaciones parecen salidas de un paisaje natural pero además de ser bellas son sólidas, el catalán se valió en sus edificios de las curvas catenarias porque son las que soportan mejor el peso de una estructura un ejemplo de curva catenaria es cuando uno sostiene una cadena de sus extremos y la somete a la acción de la gravedad, el arquitecto utilizó distintos tipos de curvas, incluso la espiral logarítmica, una curva donde la distancia a un punto fijo aumenta en forma constante.

En el siglo III a.C el matemático griego Arquímedes de Siracusa  le dedico un libro a la espiral que hoy lleva su nombre, al mismo tiempo que sus contemporáneos se dedicaban a las rectas, los círculos y triángulos, Arquímedes eligió estudiar la manera de graficar una curva tan esquiva como laberíntica es lo que se llama hoy la espiral arquimediana, el crecimiento es uniforme y el radio va variando en forma proporcional al ángulo que gire, las espiras son una igual a la otra como en una soga que se va enrollando sobre si misma. En cambio, en la espiral de Bernoulli las espiras van aumentando su tamaño, su crecimiento es exponencial.

Las dos espirales aparecen en la vida cotidiana, pero es más común encontrar en la naturaleza la espiral logarítmica desde los animales mas pequeños hasta las galaxias más desarrolladas, pero poco le falta a una espiral para considerarse una poesía casi una obra de arte, tal vez por esta razón asombro a los hombres de distintas culturas a través de todos los tiempos.

Las curvas fractales surgen alrededor de la época de los 70’s, siendo el padre de este tipo de curvas el matemático francés Benoit Mandelbrot, en un modelo artificial las curvas fractales se convierten en infinitas, la estructura principal se puede repetir incesantemente en cada uno de sus pequeños detalles, un ejemplo de ello es el copo de nieve de Koch.