Antiderivada.

Al calcular la derivada de una función se obtiene otra función con características diferentes, pero que reflejan el comportamiento de la función original. Vale la pena preguntar si es posible, teniendo la derivada, saber la función de la que provino. Esta pregunta la resolveremos dentro del tema que estudiaremos a continuación.

Considera, por ejemplo, la función F cuya derivada es f(x)=3x². La función puede ser F=x³ ya que ^d/_dx[x³]=3x². Sin embargo no es la única función que cumple con que su derivada es f, pues la función x³+3 tiene la misma derivada. De hecho, existe toda una familia de funciones que cumplen con esa propiedad y solo difieren en la constante que se les sume o reste, ya que la derivada de una constante siempre es cero.

Se define F como la antiderivada, a veces la llamada primitiva, de una función f en un intervalo I, es decir como una función tal que para todos xεI se tiene que f’(x)=f(x).

Si se sabe que F es una antiderivada de la función f en el intervalo I, entonces todas las demás antiderivadas difieren de F en una constante, es decir, si:

Donde C es una constante cualquiera, que es llamada la constante de integración. Así, cuando se habla de la antiderivada se suele mostrar toda la familia de antiderivadas mediante un representante y agregando la constante de integración.

Al proceso de obtener la antiderivada también se le conoce como integración indefinida, y es denotado por el símbolo ∫. La idea detrás de este símbolo es que representa una mayúscula alargada que en su historia la antiderivada o integral surge como un proceso límite de sumas, dando como resultado sumas de cantidades continuas. De esta manera, la notación que se usa para expresar las antiderivadas es como sigue: Si ’()=() se escribe la familia de antiderivadas o la integral indefinida como:

Donde ƒ es el integrando o función a integrar, x es la variable de integración, F una antiderivada conocida de ƒ y C la constante de integración.

La expresión completa se lee como la primitiva o integral de ƒ con respecto a x. Dentro de ésta se puede notar el término dx, el cual indica a la variable independiente.

Para comprender mejor como se trabajan las antiderivadas puedes pensar en su importancia. En la naturaleza existen muchos fenómenos físicos y es de interés para los científicos investigar si estos procesos siguen algún comportamiento determinado y se pueden reproducir o pronosticar. A través de la historia muchos científicos han podido establecer estas leyes y comportamientos, permitiendo traducirlos a un lenguaje preciso y claro. Este lenguaje es el matemático. Los avances más grandes de la humanidad se han logrado gracias al descubrimiento de las leyes que siguen los fenómenos físicos. Los ejemplos clásicos son las leyes del movimiento, de la gravedad, de las cargas, de la fuerza, entre otras. Es posible que conozcas planteamientos referidos a estos temas que no mencionen ecuaciones matemáticas en sí, sin embargo, es común que se vean versiones simplificadas para divulgación; es decir, hay muchas más teorías detrás de ellas. Lo importante en la práctica de las derivadas es que muchas de las leyes físicas hacen uso de ellas. Ya viste que la derivada de la posición respecto del tiempo es la velocidad. Este es un ejemplo claro de lo dicho.

En la realidad, es posible obtener mediciones parciales de un fenómeno. Por ejemplo, es posible determinar la velocidad, pero nos parece necesario obtener la posición del objeto en un cierto momento que cumplo con esa velocidad. Entonces, la incógnita es la función y lo que se sabe es la derivada. A este tipo de ecuaciones se les denomina ecuación diferencial.

En general, una ecuación diferencia en x y y es una ecuación que incluye a x, y y a las derivadas de y, por ejemplo y=y, y’=x+y. Claro, las de mayor importancia son las que se relacionan a fenómenos físicos.

Si se quiere resolver estas ecuaciones diferenciales es posible hacerlo mediante el proceso inverso de derivación, el cual es similar en tanto se aplican las operaciones inversas; es decir, se debe integrar. Usualmente, las ecuaciones son muy complejas y requieren de métodos más complicados para encontrar la solución analítica, en el entendido de que la solución solamente es una aproximación.

Ejemplo 2.1 Solución de una ecuación diferencial  Considera la ecuación y´= 2x. Para resolverla, recordemos que la función y´= x2 tiene como derivada 2x, entonces todas las posibles soluciones deben ser y´= x2 + C. Como podrás comprobar, éstas son parábolas.

La siguiente tabla resume las principales fórmulas de derivación e integración:

Fórmulas de derivación	Fórmulas de integración

Puedes notar que no se hace referencia a la integración del producto de funciones porque requiere de otro procedimiento y métodos especiales. Esos métodos son:

·         Cambio de variable.

·         Integración por partes

·         Descomposición en sumas parciales.

Ejemplo 2.2 Integral de funciones Puedes notar que la constante aparece en cada una de las integraciones. La constante también puede ir multiplicada o dividida, sin embargo, es mejor mantener todo en una sola constante C.

Como ya se mencionó, al obtener la integral de una función se obtienen una familia de soluciones. Cuando se busca resolver un problema se espera que tenga una solución única, pero no siempre es posible. Existen problemas conocidos como “mal planteados”, los cuales tienen varias soluciones. En algunas de las aplicaciones de integración se busca tener una solución particular, por ello se requiere que más información que lleve a la determinación del elemento de la familia de soluciones.  La información necesaria es conocida como condición inicial, y se refiere al valor de la función en algún punto dentro de su dominio. Usualmente se usa el inicio del intervalo, de ahí que se llame inicial.

En el siguiente ejemplo se ilustra la manera de obtener una solución particular a una ecuación diferencial muy sencilla relacionada con la función exponencial, dándole una condición inicial especifica.

Ejemplo 2.3 Solución particular Encontrar la solución a la ecuación diferencial y´= ex, con condiciones iniciales y (0) = 2. Por la Tabla 2, se sabe que la solución general es: Usando la condición inicial y (0) = 2, basta con sustituir el valor de x y despejar la constante C: De esta manera, la solución particular que se busca es y(x) = ex + 1.

La ecuación diferencial parece ser muy sencilla, sin embargo, es de gran utilidad ya que la función exponencial aparece en varias leyes de gran importancia de la física, entre las que se pueden mencionar son las leyes de decaimiento radiactivo, crecimiento de una población en tiempos pequeños y caída libre en aire, entre otros.

El siguiente ejemplo muestra el procedimiento a seguir usando la antiderivada para resolver un problema relacionado con la velocidad y la aceleración. Recuerda que la velocidad es la primera derivada y la aceleración la segunda.

Ejemplo 2.4 Gravedad lunar Se sabe que sobre la luna la aceleración de la gravedad es de -1.6 mm/s2. Si en este medio cae una roca desde un peñasco y golpea la superficie de la luna, y el tiempo fue de 20 segundos ¿de qué altura cayó la roca? ¿Cuál era su velocidad en el momento del impacto? Solución Denotando s (t) la posición del objeto en términos del tiempo, lo que se busca es la altura inicial s (0), sabiendo que s (20) = 0. Como la roca cae, si velocidad inicial es de s’ (0) = 0 y que s” (t) = −1.6, integrando se tiene que: Sabiendo la velocidad inicial s’ (0) = 0 = −1.6(0) + C, se obtiene el valor de C1 = 0. Ahora integrando s’ (t), se obtiene el valor de la altura en función del tiempo: Usando la última condición inicial s (20) =0=-0.8(20)2+C2=-320+C2, la función que da la altura con el tiempo es s(t)=-0.8t2+320. Sabiendo este dato, la altura de la que cayó la roca es s (0) =320 metros y la velocidad con la que toco el suelo fue de s’ (20) =-1.6(20) =-32m/s

Existen muchas ecuaciones que modelan distintos procesos y fenómenos. Dependiendo del contexto, las derivadas tienen significados diferentes, pero el punto de partida es siempre el cambio instantáneo de una variable con respecto de otra. De ahí la importancia del estudio de razones de cambio.

Las antiderivadas, hasta cierto punto son la operación inversa de las derivadas. Sin embargo, en su inicio fueron obtenidas de un proceso independiente al estudiar un problema relacionado con la generalización del área de las figuras planas ya conocidas (como el cuadrado, el circulo, el triángulo, etc.) a regiones que estaban delimitadas por la gráfica de una función. La obtención de las integrales definidas por este proceso es descrita en el siguiente subtema.

Aplicación de la integral. Área bajo la gráfica de una función.

Cuando se tiene una función continua definida en un intervalo [a, b] se puede considerar encerrada el área por el eje x. la gráfica de la función y las rectas x=a, x=b, en la siguiente figura, son ejemplos de estas regiones. Observa que es posible que el área esté bajo el eje x, esto suele interpretarse como área con signo, es decir puede haber áreas negativas. Si se requiere saber el área sin signo, basta con tomar el valor absoluto del área que es negativa y sumar el área positiva.

para calcular el área de este tipo de regiones puede aplicarse un método de estimación que consisten aproximar el área que se quiere por rectángulos, con base sobre el eje x y como altura un punto sobre la gráfica.

La figura de la derecha muestra la construcción de esos rectángulos. Conforme la base de los rectángulos se hace más pequeña, el número de estos aumenta, pero la suma de todas las áreas se acerca cada vez más a la deseada.

Para construir estos rectángulos de una función f en un intervalo [a, b] el primer paso es considerar una partición de puntos de este intervalo, es decir n+1 puntos, denotados x_i [a, b], de manera que a=x₀<x₁<x₂<…<x_n-1<x_n=b. la manera usual para tomarlos es considerando un incremento:

Y tomando x_i=a+iΔx. Con esto se consiguen puntos igualmente espaciados o una partición homogénea.

Entonces, la base de los rectángulos que se usarán para aproximar el área será Δx. Ahora, la altura varia, en cada intervalo se considera un representante. Se necesitan n puntos, uno en cada subintervalo. Es decir, se necesita C_i [x_i-1, x_i], i=1, …, n, y la altura que se tomará será f(C_i). existen muchas maneras de considerar estas alturas, lo que genera diferentes tipos de lo que se conoce como “sumas”. Si se escogen los máximos y mínimos de los valores en el intervalo se llaman “sumas de Darboux”. Si son extremos de los intervalos, suelen llamarse sumas derechas o izquierdas, según sea el extremo que se usó, y así toman un punto cualquiera sin algo en especial son “sumas de Riemann”.

Nota. para construir rectángulos es necesario tener n+1 puntos, pues se empieza a contar desde 0 y se termina en el extremo b, en el punto xn.

Para finalizar la aproximación basta con sumar las áreas de todos los rectángulos. En general, puede escribirse para una función f continua en el intervalo [a, b]. la región bajo la gráfica de la función llamada en este caso R se aproxima:

Para facilitar los cálculos en los ejemplos se toman sumas laterales, pero puede hacerse uso de cualquier tipo de sumas; las más usadas en niveles superiores para trabajar el área bajo la curva son las de Darboux. Puesto que existe un orden en los valores que resultan si se aumentan los puntos a una partición dada, cosa que no ocurre en una suma lateral, por ejemplo.

Ejemplo. 2.1.1 Aproximación al área bajo la curva Consideremos la función ƒ(x) = x2, para aproximar el área bajo la curva en el intervalo [0, 2], con 20 rectángulos. Para resolver el problema primero se deben tener todos los elementos de la suma lateral, por ejemplo, una suma derecha de partición homogénea. El espacio entre puntos consecutivos de la partición debe ser: Por tanto, los puntos en la partición deben ser: Los extremos derechos de cada intervalo [xi -1, xi] serán los usados para determinar las alturas, recordando que xi = iΔx de manera que: Para calcular la última suma se hará uso de las fórmulas de suma de cuadrados, similar a la suma de Gauss, para los primero n naturales. Entonces, se tiene que el área de la región que se necesita es aproximadamente 2.87. La siguiente figura muestra la imagen de esa aproximación.

Cuando el número de puntos de la partición aumenta, la aproximación del área que se necesita es cada vez mejor, esto siempre que la función sea continua o con pocos puntos donde sea discontinua en el límite, ambas cantidades coinciden. De esta manera se define el área de la región R bajo la gráfica de la función continua f en el intervalo [a, b] por:

Se analizará el paso al límite en el ejemplo 2.1.1. para calcular el área de la región señalada.

Ejemplo. 2.1.2 Cálculo del área de una región bajo la gráfica de una función. De acuerdo con el ejemplo anterior, se tenía la función ƒ(x) = x2 sobre el intervalo [0, 2], y se quiere determinar el área bajo la gráfica de la función, por lo que es necesario calcular el límite: Para empezar, se considera un número n arbitrario, pero de momento fijo; es decir, no lo cambiaremos hasta tener el valor de la suma, con esos n intervalos. Basados en los cálculos hechos ya en el ejemplo 2.1.1 se tiene que: Entonces la suma tiene la forma: Cuando se hace el paso al límite, se calcula la última expresión como ya se conoce: Entonces el área de la región es:

Lo que se ha dicho hasta ahora es siempre verdad cuando la función es continua, pero existen funciones que no son continuas a las que es posible calcular el valor del área de la región que denotamos R. sin embargo, no es útil tomar una partición homogénea, sino que debe ser más general. Es decir, Δx_i=x_i-x_i-1 puede ser diferente para cada i. ese tipo de sumas se denominan “sumas de Riemann” e incluyen a los elementos que son sumas con particiones homogéneas. En general, es usada la definición de Riemann para establecer el área bajo la gráfica de una función, como se enuncia a continuación:

Si es una función sobre el intervalo [a, b] y el límite sobre las particiones P

Entonces f es integrable según Riemann (o Riemann integrable) en a, b y el limite se denota por:

Este límite recibe el nombre de integral definida de f en [a, b].

Cuando existe este límite es uno de los primeros problemas que se pueden tener, pero existe un teorema que asegura que si la función es continua en [a, b] entonces es integrable, según Riemann. Debe quedar claro que el converso no es cierto, es decir, existen funciones integrables que no son continuas.

Como se dijo en un inicio, el símbolo de integrar parece surgir con el paso al límite de la letra Sigma (Σ) así como el cambio Δx_i se vuelve. Adicionalmente, se debe subrayar que la notación es extremadamente similar a la antiderivada o integral indefinida, por lo que se debe señalar que no son lo mismo. De hecho, la integral indefinida, por lo que se debe señalar no son lo mismo. De hecho, la integral indefinida es una familia de funciones y la integral definida es un número. Sin embargo, como la notación ya lo sugiere, debe haber cierta relación entre ellas. Esa relación se marca claramente en el Teorema Fundamental del Cálculo.