Ecuaciones / funciones.

Para entender el proceso de variación debemos entender que hay variación porque existe una variable que dependen de otra y lo interesantes es que existen herramientas matemáticas para analizar y estudiar ese cambio. Así, al cómo varían las variables involucradas en procesos de todo tipo (sociales, naturales, económicos, físicos, químicos) estaremos en posición de realizar prácticas valiosas como predicciones o anticipaciones.

Empezaremos con un fenómeno muy cercano a la experiencia de todos: cómo se enfrían las cosas. Por ejemplo, observa la siguiente gráfica de tiempo contra temperatura. Es decir, en el eje x (abscisas) está localizado el tiempo y en el eje y (ordenadas) está localizada la temperatura. Representa cómo un cuerpo (una sustancia en general, como el café en nuestra taza) se va enfriando.

Observemos varios de los detalles que tienen que ver con este fenómeno de enfriamiento:

Cuando el tiempo es cero (t = 0), es decir, en el origen, la temperatura de nuestro café era de poco menos de 90°. Y empezó a enfriarse, pero pareciera que la curva baja más rápidamente al inicio y poco a poco su bajada se va haciendo más lenta. Es decir, al principio el café se enfría más rápido pero después la velocidad con la que se enfría es más lenta. Y llega un momento en que pareciera que esa temperatura se estabiliza: más o menos alrededor de los 40°. ¿Sabes a qué temperatura se quedan los cuerpos?

Efectivamente, a la temperatura ambiente. Esta gráfica presenta la relación entre el tiempo y la temperatura: a medida que pasa el tiempo, indica cómo es la temperatura. Estas relaciones se expresan en términos de funciones y ésta en particular tiene una expresión como la siguiente:

Recordemos que una función es una relación entre dos variables: la variable x es llamada variable independiente (en los fenómenos normalmente es el tiempo y la variable y es la variable dependiente. Así, lo que represente será dependiente del valor de x. Lo anterior se escribe:

Dicha expresión se lee como: “y es función de x”, o lo que es lo mismo: “el valor de y depende de x”. Para que la relación entre las variables sea del tipo función debe cumplirse que a cada valor de x le corresponda uno y sólo un valor de y. En nuestro ejemplo de enfriamiento, la temperatura depende del tiempo, para un valor en el tiempo sólo podrá haber un valor para la temperatura. Esa característica hace que esta relación entre las variables se llame función.

Así, podemos decir que la Temperatura es función del tiempo: Para estudiar las funciones, partiremos de su ecuación o expresión analítica: la expresión analítica de nuestro ejemplo exponencial es:

Después las graficaremos en el plano cartesiano. Haremos tablas de valores (tabular) en donde para valores de x (localizadas en el eje horizontal) hallaremos los valores de y (localizadas en el eje vertical). Para ello, necesitarás una calculadora científica.

Conviene también que tengas a la mano un graficador (algún programa que grafique). Algunas calculadoras y dispositivos electrónicos lo hacen. También puedes bajar programas gratuitos de internet, el GeoGebra y el winplot, por ejemplo, son adecuados y muy fáciles de usar.

Reconocer entonces cómo cambian los fenómenos nos permitirá introducirnos en el tema de esta unidad referido a la variación en los procesos sociales, por ejemplo, cómo crece o decrece una población. Tomemos como ejemplo la misma función exponencial pero ahora nota que el exponente lo tomaremos positivo: habrá un crecimiento.

La función es  y su gráfica es la siguiente. El eje horizontal es tiempo, el vertical es el tamaño de la población:

Tomemos como ejemplo la misma función exponencial pero ahora nota que el exponente lo tomaremos positivo: habrá un crecimiento.

Intencionalmente, henos dejado la parte izquierda del eje horizontal que representa tiempos negativos para que observes que se trata de la misma función en un solo comportamiento ahora de crecimiento; empieza a crecer muy lentamente y luego más rápido, cuando , .

Ése sería el valor inicial de la población en estudio. Y después, aún para valores muy pequeños del tiempo, esta población crece muy rápido. Pareciera incluso que no tiene límites, lo cual, como veremos, no coincide con la realidad pues suelen haber factores que detienen o hacen lento el crecimiento de la población como los recursos alimenticios, el espacio geográfico, etc.

De ello tratará la unidad: saber analizar la variación de las poblaciones.

Funciones lineales

Una función lineal tiene como expresión analítica una ecuación de primer grado, como las siguientes (puede ponerse f(x) o (y):

x	Operaciones involucradas	y
-4		-18
-3		-13
-2		-8
-1		-3
0		2
1		7
2		12
3		17
4		22

 

a)     f(x) = 5x + 2

b)     f(x) = -2x + 4

c)      y = 3x -1

Grafiquemos la función a) tabulando: le podemos dar valores a x, se hace la operación indicada para obtener el correspondiente valor de y. Los valores (x, y) son entonces puntos coordenados que se localizarán en el plano.

Localizando los puntos (x, y) en el plano y uniéndolos obtenemos la siguiente gráfica lineal:

La gráfica de una ecuación de primer grado es una línea recta. En la gráfica sólo están marcados cuatro puntos a manera de ilustración.

Analicemos ahora las características de esta función lineal. Retomemos la tabla de valores y vamos a agregar dos columnas, una será cuanto cambia x y la otra será cuanto cambia y.

 

Cambio de x	x	y	Cambio de y
	-4	-18
1	-3	-13	5
1	-2	-8	5
1	-1	-3	5
1	0	2	5
1	1	7	5
1	2	12	5
1	3	17	5
1	4	22	5

 

La relación de cambio de y con respecto a x es 5:

Y esa cantidad está indicada en la función:

Esa relación de cambio es válida para todas las rectas y entre cualquier par de puntos muestra que se localizaron.

Cambio de x	x	y	Cambio de y
	-4	-18
2	-2	-8	10 (de -18 a -8)
2	0	2	10 (de -8 a -2)
3	3	17	15 (de 2 a 17)

 

Razón de cambio de la función:

Analicemos dos pares de puntos en la gráfica: el cambio del punto (-4, -18) al punto (-2, -8)

Y ahora el punto (0, 2) al punto (3, 17)

Así, en una función lineal, cuya gráfica es una recta, la razón de cambio (cambio en y entre cambio en x) es constante y a su valor numérico se le llama la pendiente de la recta.

Funciones exponenciales.

La función exponencial tiene la siguiente expresión:

Donde:

·         e: es un número que se conoce como número de Euler o constante de Napier. Es un número irracional, es decir, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico.

·     su calor es el siguiente

·         podremos utilizar una aproximación usando únicamente dos decimales 2.71

Para hallar la gráfica de la función exponencial tabulemos.

X	Operaciones involucradas	Y
-4		0.01831
-3		0.04970
-2		0.135
-1		0.3678
0		1
1		2.71
2		7.38
3		20.08
4		54.59

Para hallar las operaciones solicitadas nota que hay que elevar el número y al exponente que corresponda. Esto lo podemos realizar con ayuda de una calculadora científica metiendo el valor aproximado de e (2.71) o bien directamente con la tecla “e”.

Antes de realizar la gráfica observamos cómo se comportan los valores de y dependiendo de los valores de x.  Nota que cuando x es negativa, los valores de y son muy chiquitos. Los valores de y van creciendo conforme x crece, pero crecen muy poco; crecen despacio.

Cuando x = 0, y = 1 Cuando x es positiva, los valores de y son cada vez más grandes, pero además crecen muy rápido. Además, los valores de y son siempre positivos. Ahora sí, localicemos los puntos en el plano cartesiano y unamos los puntos. La función exponencial será siempre así. Identificaremos en la gráfica las características que hemos analizado:

Por ejemplo, ¡la población de los conejos! Por eso se dice cuando una población crece muy rápido, que tiene un “crecimiento exponencial”.

Supongamos que tenemos un conejo macho y una hembra, y que producen cuatro conejitos (dos son machos y dos hembras) que a su vez producen ocho. Y así, con la misma tasa de aumento, la próxima generación producirá 16, la próxima 32, la próxima 64 y así sucesivamente. Claro, estamos suponiendo en este modelo simple que el alimento es infinito y ¡los conejos están muy libres! En ese caso, la función exponencial es:

O si designamos a C como el número de conejos y a t, como el tiempo, se expresaría:

La base es ahora 2. Nota que si t = 1, C = 2, lo que quiere decir que en el momento inicial (en este modelo consideramos el inicio en t = 1) se empieza con dos conejos.

Funciones logarítmicas.

Las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales se encuentran relacionadas estrechamente pues es una inversa de la otra. Es decir, la potenciación y el cálculo de logaritmos entendidas como operaciones son opuestas, tal como la multiplicación y división.

La potenciación se define de la siguiente forma:

La potencia k de un número a es b. Dicho de otra forma, a elevado a la k da como resultado b.

Con base en lo anterior, el logaritmo se define de la siguiente forma:

La expresión anterior se lee como sigue: el logaritmo base a del número es igual a k. Por lo tanto, el logaritmo permite obtener el exponente al que se tiene que elevar una base a para obtener el número b. Cabe mencionar que existe en la definición una restricción para la base a. Para que un logaritmo pueda existir, debe cumplirse que la base del logaritmo sea positiva y que no sea uno, es decir:  y .

Existen dos logaritmos que son muy especiales. El logaritmo de base 10 y el logaritmo de base e. El logaritmo de base 10 suele escribirse sin la base, es decir: .

Y el logaritmo de base suele ser llamado logaritmo natural o logaritmo

Debido a la relación inversa entre las potencias y los logaritmos, estos últimos son muy útiles para resolver problemas que involucran crecimientos exponenciales. Sin embargo, antes de resolver algunas situaciones de este tipo, deducirás algunas de las propiedades de los logaritmos.

Propiedades de los logaritmos

En términos generales, los logaritmos cumplen con las siguientes propiedades, las cuales resultan evidentes por estar relacionadas con la potenciación:

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

6.   

A continuación, veremos la utilidad de los logaritmos para resolver algunos tipos de problemas. El Carbono-14 (¹⁴C) es un isótopo radiactivo del carbono que está presente en todos los materiales orgánicos, por lo que es empleado para la datación de especímenes orgánicos.

El método de datación por Carbono-14 es la técnica basada en isótopos más fiable para conocer la edad de muestras orgánicas de menos de 45 000 años y está basado en la ley de decaimiento exponencial de los isótopos radiactivos.

Por ejemplo, es posible bajo esta técnica determinar la edad de algún material orgánico con base en la siguiente expresión matemática, la cual representa un comportamiento exponencial de decaimiento, como los que se han mencionado en el apartado anterior:

Donde C0 representa la cantidad actual de 14C en la atmósfera, C el porcentaje de 14C que presenta el fósil y el número -0.00012378 representa el factor que en cada período reduce la cantidad de 14C, es decir, el factor de decaimiento.

En general, esta expresión permite calcular la cantidad de 14C que tiene un material orgánico para cualquier tiempo, puesto que la expresión tiene como variable el tiempo. Por consiguiente, es posible calcular también el tiempo (la edad) si se realizan algunas operaciones sobre la expresión.

Por ejemplo, supongamos que se quisiera determinar cuál es la edad de un fósil que actualmente presenta un 5% de ¹⁴C. Veamos cómo se puede determinar:

Debido a que se sabe que el fósil presenta un 5% de ¹⁴C con respecto a la cantidad que hay en la atmósfera, entonces se cumple que . Por lo que tenemos que:

En los siguientes pasos es donde cobran un papel esencial los logaritmos pues son fundamentales para resolver problemas de tipo exponencial en los que interesa determinar el valor del exponente en la expresión. En el caso del ejemplo, interesa determinar el exponente, el cual representa la edad del fósil.

Para resolver entonces la ecuación, hay que despejar la variable t. Primero C₀ que está multiplicando se pasará dividiendo y se cancelará:

Para despejar t, se obtienen logaritmos a ambos lados de la ecuación para no alterarla y dado que la base de la potencia, entonces se usará el (logaritmo natural). Así:

Debido a que se sabe que el fósil presenta un 5% de 14C con respecto a la cantidad que hay en la atmósfera. Por lo tanto, tenemos que:

Recordando que el  (Propiedad 5) se obtiene que:

Entonces:

Despejando se obtiene que:

Por lo tanto, realizando el cálculo se tiene que:

Esto quiere decir que el fósil tiene aproximadamente 24,202 años.

Esta técnica ha sido muy empleada por historiadores y arqueólogos desde años atrás y mucha de la información en cuanto a la edad de los materiales orgánicos que hoy en día conocemos se debe a la misma, en la cual el logaritmo juega un papel fundamental.

Funciones logarítmicas.

En los temas anteriores vimos las gráficas de las funciones exponenciales, ahora veremos la gráfica de las funciones logarítmicas. Para ello se puede recurrir a la técnica de tabulación que se ha empleado para construir la gráfica de las funciones que ya se han visto. Así, consideremos las siguientes tablas:

Por lo tanto, con los pares encontrados, la gráfica se ve de la siguiente forma:

De forma completa, considerando valores de x mayores que cero se obtiene que la gráfica de una función logaritmo es la siguiente:

Como puede observarse, no hay curva para valores menores o iguales a cero puesto que la base del logaritmo no puede ser cero o un número negativo por definición. Además, para valores de entre 0 y 1, el crecimiento de la gráfica es rápido, en tanto que para valores mayores que uno el crecimiento es mucho más lento en comparación.