Vectores colineales y concurrentes en forma gráfica y analítica.

Vectores colineales.

Los vectores colineales, son aquellos que aparecen en la misma recta o que resultan paralelos a una cierta recta. Observa algunos ejemplos:

Método	Procedimiento
Gráfico de suma de vectores colineales	Para sumar vectores colineales se deben trazar las fuerzas de acuerdo con una escala (por ejemplo, 1N = 1cm), colocarlas de acuerdo con su sentido (una después de otra) y medir la resultante.
Gráfica de resta de vectores colineales	Para restar vectores colineales se suman los vectores y se trazan las fuerzas de acuerdo con una escala (por ejemplo, 1N = 1cm), colocarlas de acuerdo con su sentido, las que tengan el mismo sentido una después de otra y al final medir la resultante o diferencia entre ellas.
Analítico de suma de vectores colineales	Para este método se suman las magnitudes de las fuerzas, debido a que todas van en el mismo sentido y dirección.
Analítico de resta de vectores colineales	Para este método se coloca un signo negativo a las fuerzas que están en sentido contrario, ya que tienen la misma dirección, pero en sentidos opuestos.

En algunas ocasiones se necesita saber la fuerza resultante de varias fuerzas que actúan en diferentes sentidos. Para realizar operaciones con vectores existen dos tipos de métodos: el método gráfico y el analítico. A continuación, se describen como se realizan para los vectores colineales.

Método gráfico: suma y resta de vectores colineales.

Los pasos generales para aplicar el método gráfico son: seleccionar la escala adecuada y trazar los vectores con relación al sentido que tengan.

Método gráfico: suma de vectores colineales.

A continuación, se resolverá un problema de suma que involucra fuerzas colineales:

Cuál es la suma (resultante) de tres fuerzas colineales de:

Observa que cada fuerza está representada con una letra y con la flecha en la para superior que indica la dirección. De acuerdo con la imagen, son tres personas las que aplican su fuerza para mover el auto en la misma dirección. Cada persona aplica una fuerza diferente ¿Cuál será la fuerza resultante?

Para encontrar la solución:

a)  Elige una escala para representar en papel milimétrico las cantidades de las fuerzas. En este caso 1cm = 1N.

b)  Dibuja una recta y coloca la primera fuerza 1N = 1cm, en la flecha de la primera coloca el origen y la segunda 3N = 3cm y donde termina la segunda flecha coloca la tercera fuerza 4N = 3cm. La distancia del origen de la primera fuerza hasta la flecha de la última representara el valor de la resultante.

c)  Como se muestra en la siguiente imagen la resultante es de:

Respuesta

La resultante del sistema R está dirigida horizontalmente, en sentido hacia la derecha y tiene un valor numérico de R = 8N. el sistema de los vectores dados puede ser sustituido por cualquier vector que cumpla con estos requisitos.

La equilibrante del sistema E está dirigida horizontalmente, en sentido hacia la izquierda y tiene un valor numérico de E = -8N. El sistema de los vectores dados puede ser equilibrado por cualquier vector que cumpla con estos requisitos.

En resumen, para sumar vectores por el método gráfico debes trazar las fuerzas de acuerdo con una escala (por ejemplo, 1N = 1cm), colocarlas de acuerdo con su sentido (una después de otra como en el ejemplo abordado), y al final medir la resultante.

Método gráfico: resta de vectores colineales

A continuación, se resolverá un problema de resta que involucra fuerzas colineales:

Cuál es la resultante de:

Si a, b tienen la misma dirección, pero c tiene sentido contrario de a y b.

Para su solución se necesita.

a)  Elegir una escala para representar en un papel milimétrico las cantidades de las fuerzas. En este caso 1 cm = 1N.

b)  Dibuja una recta y en una línea todas las fuerzas que tengan el mismo sentido, donde termina la flecha de la última, coloca el origen de la primera la cual está en sentido contrario y donde termine la flecha, será el valor de la resultante.

c)  En este caso la resultante es 0. Es decir, si las fuerzas estuvieran moviendo un objeto, este se encontraría en reposo pues las fuerzas aplicadas se anulan.

A manera de conclusión, para restar vectores, en el método gráfico, debes trazar las fuerzas de acuerdo con una escala (por ejemplo, 1N = 1cm), colocarlas de acuerdo con su sentido, las que tengan el mismo sentido, una tras de otra y al final medir la resultante o diferencia entre ellas.

Método analítico: suma y resta de vectores colineales.

El método analítico no se dibujan los vectores porque consiste en el uso de las propiedades matemáticas como la conmutativa para la adición y la de negativo de un vector.

Método analítico: suma de vectores colineales.

Para este método, solo se suman las magnitudes de las fuerzas, debido a que todas ven en el mismo sentido y dirección. Así que para el caso anterior donde a = 1N, b = 3 N y c = 4N, la resultante (R) será igual a:

Ahora se revisará la otra propiedad, la de la resta.

Método analítico: resta de vectores colineales.

El método analítico, en el que las magnitudes de las fuerzas solo se suman de manera aritmética, al colocar un signo de negativo a las que están en sentido contrario, ya que tienen la misma dirección, pero en sentido contrarios. Así para el caso anterior donde:

La resultante (R), será igual a:

Como puedes observar, para las operaciones con vectores colineales el método gráfico requiere de instrumentos y materiales, en tanto que el método analítico es solo la suma de sus magnitudes y la consideración del sentido, lo que la hace más sencilla.

Vectores concurrentes.

Se llama vectores concurrentes a aquellos que atraviesan un mismo punto. Debido a que, al pasar por dicho punto dan lugar a la creación de un ángulo, los vectores concurrentes tambien se denominan vectores angulares.

Método analítico: operaciones de vectores concurrentes.

El método analítico involucra operaciones con funciones trigonométricas. A continuación, se abordará un ejemplo donde se obtendrá la resultante de un sistema de fuerzas aplicadas a un cuerpo.

Sobre un cuerpo se aplican diferentes tirones como se muestra en la imagen, la acción de cada tirón se representa con el vector F. ¿hacia dónde se moverá el cuerpo?

Datos.

Análisis.

Para determinar hacia dónde se moverá el cuerpo, es necesario calcular el valor numérico, la dirección y el sentido de la resultante del sistema. puedes utilizar cualquiera de los métodos estudiados, pero por su comodidad, se empleará el método de las componentes. Para auxiliarte, dibuja un sistema de coordenadas rectangulares y en él, traza los vectores, haciendo coincidir los orígenes de cada uno con el origen del sistema. Utiliza la escala 1cm = 10N.

Paso1.

Busca el valor de los componentes de los vectores F₁, F₂, F₃

Paso2.

Encuentra los componentes del vector.

Paso3.

Hallar el valor numérico de:

Paso4.

Para determinar el ángulo entre R y el eje x, calcula la tangente del ángulo .

Paso5.

Sustituye los valores:

Con una calculadora científica encuentra el valor del ángulo correspondiente a esta tangente.

Paso6.

Con regla y transportador traza el vector.

Utiliza como escala 1cm = 10N

Respuesta:

El vector suma tiene un valor numérico igual a R=69.9N y forma un ángulo de 81. 7º con relación al eje positivo de las x.

El sistema se moverá a la derecha, la respuesta no es exacta. En el problema no se considera el peso del cuerpo, vector que siempre está dirigido hacia abajo, ni la resistencia del apoyo entre otras magnitudes que varían las componentes de la resultante.

Es común que un cuerpo este siempre sometido a la acción de dos o más fuerzas, por lo regular de tipo concurrentes que producen un movimiento en los objetos, por lo tanto, es importante calcular la resultante de esas fuerzas, con el propósito de interpretar y argumentar las manifestaciones físicas que surgen en la naturaleza.