¿Qué hacer?
1. Lee con detenimiento la siguiente situación:
El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la atmosfera.
El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.
A continuación, se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del promedio anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.
Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último, se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:
Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:
Para comprender mejor los elementos de esta función puedes apoyarte del video: https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI
f(t)=333.08e0.005t
La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:
2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a) Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1984.
Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 4:
La actividad no pide la aproximación el cambio de la concentración del CO2 de 1980 a 1984.
Por lo tanto, en 1980 inicio el crecimiento entonces tenemos que tiempo (t)=0 entonces decimos que x1=0, y para 1984 trascurrieron 4 año por lo tanto x2=4
Tenemos que:
X1=0
X2=4
La función que determina el fenómeno de crecimiento es f(x)=333.08e0.005t
Para determinar la aproximación del cambio del dióxido de carbono de 1980 a 1984 se aplica la siguiente formula:
En donde:
Paso 1. Obtener el diferencial de los años.
Paso 2. Obtener la derivada de la función original con las siguientes formulas:
Paso 3. Aplicamos y desarrollamos la fórmula para calcular la aproximación del Dióxido de Carbono de 1980 a 1984:
En donde el valor de X1=0, por lo tanto, sustituimos el valor de X=0 en la respuesta encontrada:
Finalmente restamos a este valor encontrado el valor obtenido al inicio:
Por lo tanto, la aproximación del crecimiento del Dióxido de Carbono en los 4 años, de 1980 a 1984 fue de:
6.6616ppm
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=333.08e0.005t, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 4.
Para determinar la ecuación de la tangente aplicamos la siguiente formula que representa a una recta cualquiera:
En donde:
m= a la pendiente de una recta, es decir, la derivada de la función.
b= al punto en donde la recta corta al eje de la Y
x= a la función trabajada
Entonces:
Por lo tanto, la ecuación queda de la siguiente manera:
Ahora usamos esta ecuación de la recta tangente para aproximar la concentración de CO2 en x=4:
c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?
Al comparar los resultados que se obtuvieron se encuentra que la derivada utilizada para la aproximación del cambio CO2 es correspondiente al valor de la pendiente de una recta. Por consiguiente, la pendiente una recta es igual a la derivada.
3. Integra tu desarrollo, con la gráfica, en un documento (de preferencia en procesador de textos) y súbelo a la plataforma con el siguiente nombre:
