Exponenciales.

Cuando se habla de fenómenos que muestran un comportamiento el cual se puede representar mediante una función exponencial no es extraño, incluso en el lenguaje coloquial hay una expresión que los reúne: “se hizo grande como una bola de nieve”. Con esta expresión se quiere decir que hay fenómenos que son acumulativos. Un caos más cercano es el de la población, más adelante se abordará la teoría de Malthus, donde el crecimiento de la población, también es un fenómeno acumulativo, razón por la cual este economista decía que si el crecimiento de los alimentos era aritmético, el mundo tenía por futuro la escasez de alimentos. Para empezar mostrando el alcance de este fenómeno, se recurrirá a una leyenda.

La leyenda de los granos de trigo. Cuenta la leyenda que hace mucho tiempo reinaba en cierta parte de India un rey llamado Sheram. En una de las batallas en las que participó su ejército perdió a su hijo y, por ello, quedó profundamente consternado. Nada de lo que le ofrecían sus súbditos lograba alegrarle. Un buen día un bramán llamado Susa o Sissa se presentó en la corte del rey Sheram y pidió audiencia. El rey la aceptó y el bramán le presentó un juego que, aseguró, conseguiría divertirle y alegrarle de nuevo: el ajedrez. Después de explicarle las reglas y entregarle un tablero con sus piezas, el rey comenzó a jugar y se sintió maravillado: jugó y jugó y su pena desapareció en gran parte. Sissa lo había conseguido. Sheram, agradecido por tan preciado regalo, le dijo a Sissa que como recompensa pidiera lo que deseara. Luego de lograr la fascinación del rey por tan noble invento, el sabio bramán aprovechó la oportunidad para darle una lección al soberano y pidió “solamente” un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. Por supuesto, el rey accedió de inmediato a tan “modesta” petición. Pero, efectuados los cálculos correspondientes, recibió una mayúscula sorpresa: No podía pagar la recompensa prometida puesto que la cantidad de granos a entregar equivalía a cosechar toda la superficie terrestre cultivable.

Casi todo los que relatan esta leyenda coinciden en el total exacto: 18,446,744,073,709,551,615 (dieciocho trillones, cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientos nueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince), lo cual se puede confirmar con un buen procesador matemático.

Ahora se harán los cálculos correspondientes.

La solución consiste en duplicar manualmente cada potencia de dos e ir acumulando la suma correspondiente. La serie matemática queda como:

Donde Granos₆₄ corresponde a la suma total de granos.

Esta serie puede expresar como una suma de exponentes:

La cual es una suma finita de términos de una progresión geométrica de razón 2, cuyo resultado es el siguiente:

La magnitud de este número se escapa a la imaginación, por lo que se harán unos cálculos que permitan vislumbrar esta cantidad. Se supone, que 1,000 granos de trigo pesas 40 gramos, entonces, un grano de trigo pesara 0.04 gramos. Multiplicando el número por el peso de un grano se obtiene el peso total.

18,446,744,073,709,551,615∗0.04 = 737,869,762,948,382,064 = 737,869,762,948 ,382,046 toneladas
Es decir, se necesita mas 737 miles de millones de toneladas de trigo para pagar. Si se tiene encuentra que la estimación de la cosecha mundial de trigo fue en el ciclo agrícola 2014-2015 de 697.04 millones de toneladas, es decir si se juntan todas las cosechas del mundo, llevaría 1,058 años para liquidar esa deuda.
En este caso particular, se definió f(x)=2 para cualquier valor racional de X. Dicho en otros términos:

Si b>0 y b≠1, entonces la función exponencial de base queda definida por:

El dominio de f es el conjunto de número reales y el contradominio es el conjunto de números positivos.

La función exponencial de base 2 se define como f(x)=2^x. La tabla muestra algunos valores de X con sus correspondientes valores.

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
F(x)				1	2	4	8

Esta función tiende a infinito cuando X es positiva y tiende a infinito, 2x se aproxima a centro cuando x tiende a menos infinito.

Ahora la función exponencial de base

Se define como

En la tabla se incluyen algunos valores con sus correspondientes valores de la función.

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
F(x)	8	4	2	1

La función tiende a cero a medida que x tiende a infinito. Además, la función tiende a infinito a medida que x tiende a menos infinito.

En las siguientes figuras se muestran las gráficas de dos funciones exponenciales donde a base b toma valores mayores a 1, es decir b>1, y también se muestra cuando 0<b<1

A partir de la definición de la función exponencial de la base b, se puede deducir que b puede ser cualquier número positivo, excepto 1. Cuando b=e, se obtiene la función exponencial natural.

La función exponencial es la función definida por:

El dominio de la función natural es el conjunto de los números reales y su codominio es el conjunto de R+

X	-1	-0.5	0	0.5	1.5	2	2.5	3
F(x)	0.4	0.6	1	1.6	2.7	4.5	7.5	12.2

Si a y b son números positivos, cualesquiera y x, y, ϵ, R+,  entonces:

Las demostraciones de estas propiedades quedan fuera del alcance de estas notas. Sin embargo se puede deducir de las leyes de los exponentes.

En resumen, los exponentes pueden aplicarse a la determinación del interés de una inversión. Tal aplicación la usa la definición de e, un número que es usado no solo en los negocios, sino también en las ciencias físicas, sociales y biológicas.

En “Las torres de Hanoi” se encuentra otro ejemplo donde vuelve a salir el número 2⁶⁴-1, un número muy grande, difícil descifrar.

Funciones exponenciales

La función exponencial tiene la siguiente expresión:

                                                                               

       

Ø  “e” es un número que suele llamarse “número de Euler” o “constante de Napier”.

Ø  Es un número irracional, es decir, que no puede ser representado por un número decimales exacto o un decimal periódico.

Ø  Su valor es el siguiente:

                                                                               

Ø  Podemos utilizar una aproximación utilizando únicamente dos números decimales: 2.71

X	Operaciones realizadas	Y
-4	e-4 = (2.71)-4	0.01854
-3	e-3 = (2.71)-3	0.05024
-2	e-2 = (2.71)-2	0.13616
-1	e-1 = (2.71)-1	0.36900
0	e0 = (2.71)0	1
1	e1 = (2.71)1	2.71
2	e2 = (2.71)2	7.3441
3	e3 = (2.71)3	19.9025
4	e4 = (2.71)4	53.9358

X	Y
-4	0.01854
-3	0.05024
-2	0.13616
-1	0.36900
0	1
1	2.71
2	7.3441

Para hallar la gráfica de la función exponencial tabulemos para encontrar las operaciones solicitadas nota que hay que elevar el número e al exponente que corresponda.

Esto lo podemos hacer con la ayuda de una calculadora científica para facilitar las cosas.

Nota que cuando X es negativa, los valores de Y son muy pequeños. Los valores de Y van creciendo conforme X crece, o sea muy despacio.

X=0, Y = 1

Cuando X es positiva, los valores de Y son cada vez más grandes, pero además carecen muy grandes. Además, los valores de Y son siempre positivos.

La función exponencial siempre será así. Identificar hemos de la gráfica las características que se han analizado.