Pendiente de una recta tangente a un punto de la curva.

La razón de cambio instantáneo es dada como:

La pendiente es el incremento de la recta con respecto al eje de las abscisas, denotada por la letra m.

La recta tangente a una curva en un punto  es aquella que pasa por el punto (a,f(a)) y cuya pendiente es la derivada f’.

La recta tangente para una función y=f(x) es:

De manera simplificada:
Donde (a,f(a)) es el punto donde pasa la recta tangente.
Ejemplo:
Sea la función f(x)=x²
Entonces la pendiente de la recta es m=2.
La recta tangente a la función es:

y=2x-1

Una de las aplicaciones de la recta tangente es que permite encontrar el ángulo de inclinación de la recta tangente de la siguiente manera: tanθ=m.

Ejemplo:

Sea la función f(x)=x³.

La pendiente a la recta tangente en un punto  a es m=3(a)^2.

La recta tangente a  en un punto (a,f(a))=(a,a³).

Esta dada como:

La pendiente de una recta es un concepto geométrico importante, el cual se puede interpretar como una medida de la inclinación de una recta en la ecuación y=mx+b, indica la cantidad en que se incrementa o disminuye el valor de la variable y, cuando la x aumenta una unidad. El incremento se presenta cuando el valor de m es positivo y la disminución en el caso contrario. Si la pendiente tiene valor cero, la recta es horizontal, es decir, ni se incrementa ni disminuye.

Es más útil este concepto para las aplicaciones que el de ángulo formado por la recta con el eje x, porque las gráficas donde se emplean rectas, frecuentemente tienen diferentes escalas de medición en cada eje, con lo cual el ángulo no es un valor significativo para quien usa recta que representan un fenómeno.

La línea recta es un modelo matemático muy útil, pues se usa para representar gran cantidad de fenómenos de la economía, física, la biología, la medicina, etc. Por ello, es imprescindible entender que la pendiente de una línea recta es una medida del cambio de la variable y (dependiente), cuando se presenta un cambio unitario en la variable x (independiente), será una forma de comprender lo que está ocurriendo con el fenómeno que se está representando.

En resumen, en esta sección se vio la manera de obtener la recta tangente por medio de la aproximación de una secante. Esta es una forma de hacerlo y existen otras.