Factorización de polinomios
Definición
La factorización de un polinomio es expresar el polinomio de
un producto de dos o más polinomios de menor grado.
Factor
El factor es cada uno de los miembros de una multiplicación.
Donde a
y b son factores de esa multiplicación.
Métodos
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·
Por identificación del factor común.
·
Por agrupación de términos.
·
Trinomio cuadrado perfecto.
·
Diferencia de cuadrados.
·
Trinomio de la forma
· Trinomio de la forma
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Factorización identificando el factor común
Al multiplicar, usando la propiedad distributiva se tiene
que: 𝑎(b+c)
= 𝑎𝑏
+𝑎𝑐.
Y al realizar lo inverso, una factorización se tiene que: 𝑎𝑏
+ 𝑎𝑐= a(b+c).
Es decir, para factorizar, se debe hallar un factor que sea
común a todos los términos. Para esto se debe seleccionar el máximo factor
común.
Máximo Factor Común (MFC). El término 𝑎𝑥𝑛,
es el MFC de un polinomio si: 𝑎 es el máximo entero que
divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 𝑛 es el
mínimo exponente de 𝑥 en todos los términos del polinomio.
Ejemplo:
Factoriza 
El mayor entero que divide a 6 y 18 es el 6; y el mínimo exponente de 𝑥 en todos los términos 
es .
es .
Así, la factorización es:
Entonces 6x2
es el MFC.
Casos del factor común de polinomios
El factor común
El factor común es identificar la literal común del
polinomio con el menor exponente y máximo común divisor de sus coeficientes.
El factor común trinomio
El factor común para el caso de un trinomio es así:
Factor común polinomio
Además, el factor común polinomio, esto es cuando el factor común
es un polinomio, por ejemplo:
Agrupando la expresión en pares de términos que tengan un
factor común tenemos que:
Ejemplos
Factorizar 
Identificamos al 2 como el máximo común divisor de 8 y 30.
Por lo tanto, su factorización es 
Identificamos
que la variable x no se repite en
todos los términos de la expresión.
Factorizar 
- Identificamos pares de términos que tienen factores comunes.
- Asi un factor común es
- La factorización es
Factorización por agrupación de términos
son aquellas expresiones que tienen las mismas variables
elevadas al mismo exponente, identificar estos términos te ayudará a encontrar
justo esos factores del polinomio.
Ejemplos
Ejemplo 1
Factorizar ax + bx + ay + by.
1. Agrupa: (ax + by) + (ay + by)
2.
Factoriza x y y en cada grupo de paréntesis: x(a+b)
+ y(a+b)
3.
Extrae (a+b) pues es el factor común: (a+b) (x+y)
Ejemplo 2.
Para factorizar un polinomio por agrupación de términos se debe considerar aquellos polinomios que tengan un numero par de términos 
Se agrupa 
Identificamos el factor común
Así, puedes pensarlo de una manera
general como:
Trinomio cuadrado perfecto
El trinomio cuadrado perfecto es un
polinomio ordenado de tres términos, donde el primero y tercero tienen raíces
cuadradas exactas y el segundo término equivale al doble producto de las raíces
del primer y el tercer término.
Para factorizar un trinomio cuadrado
perfecto se debe hacer lo siguiente:
Diferencia de cuadrados
Es una diferencia de dos términos
elevados al cuadrado de la forma:
O de una manera general como:
Ejemplo
1.
Expresar la literal como una única expresión
al cuadrado.
2.
Colocar dos pares de paréntesis, pues cada
uno contendrá un factor.
3. Se extrae la raíz cuadrada al término positivo y ésta será el primer término de cada par de factor.
4.
Se extrae la raíz cuadrada del término
negativo y ésta será el segundo término de cada factor.
5.
El signo será uno positivo y otro negativo.
Trinomio de la forma x2 + bx + c
Tiene tres términos, uno de ellos con
exponente al cuadrado y otro es el término independiente. Se resuelve de la
siguiente manera:
1.
Se colocan dos pares de paréntesis.
2.
El primer miembro será la raíz cuadrada
de la variable.
3.
Y el segundo miembro de cada factor lo conformarán
dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y
sumados (pueden ser negativos) den como resultado el otro término.
Ejemplo
x2 + 7x +10
Solución:
x2
+ 7x + 10
x:
raíz cuadrada del primer término del trinomio
+:
Signo del segundo término del trinomio
Aplicando
la ley de los signos, al multiplicar signo positivo por signo positivo, resulta
signo positivo.
Luego:
5
+ 2 = 7 coeficiente del segundo término del trinomio
5x
2 = 10 coeficiente del tercer término del trinomio
De
tal manera que: x2 + 7x + 10 - (x+5) (x+2)
El
primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la variable del segundo término
tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término
independiente. Veamos un ejemplo de cómo factorizar una expresión de este tipo.
Factoricemos
4x2 + 12x + 9
Para
esto se realiza lo siguiente:
