Factorización de polinomios

Definición

La factorización de un polinomio es expresar el polinomio de un producto de dos o más polinomios de menor grado.

Factor

El factor es cada uno de los miembros de una multiplicación.

Donde a y b son factores de esa multiplicación.

Métodos

·         Por identificación del factor común. ·         Por agrupación de términos. ·         Trinomio cuadrado perfecto. ·         Diferencia de cuadrados. ·      Trinomio de la forma ·      Trinomio de la forma

 

Factorización identificando el factor común

Al multiplicar, usando la propiedad distributiva se tiene que: 𝑎(b+c) = 𝑎𝑏 +𝑎𝑐. Y al realizar lo inverso, una factorización se tiene que: 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐= a(b+c).

Es decir, para factorizar, se debe hallar un factor que sea común a todos los términos. Para esto se debe seleccionar el máximo factor común.

Máximo Factor Común (MFC). El término 𝑎𝑥^𝑛, es el MFC de un polinomio si: 𝑎 es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y 𝑛 es el mínimo exponente de 𝑥 en todos los términos del polinomio.

Ejemplo:

Factoriza 

El mayor entero que divide a 6 y 18 es el 6; y el mínimo exponente de 𝑥 en todos los términos es . 

Así, la factorización es:

Entonces 6x² es el MFC.

Casos del factor común de polinomios

El factor común

El factor común es identificar la literal común del polinomio con el menor exponente y máximo común divisor de sus coeficientes.

El factor común trinomio

El factor común para el caso de un trinomio es así:

Factor común polinomio

Además, el factor común polinomio, esto es cuando el factor común es un polinomio, por ejemplo:

Agrupando la expresión en pares de términos que tengan un factor común tenemos que:

Ejemplos

Factorizar 

  Identificamos al 2 como el máximo común divisor de 8 y 30.

Por lo tanto, su factorización es    

Identificamos que la variable x no se repite en todos los términos de la expresión.

Factorizar 

•     Identificamos pares de términos que tienen factores comunes. 
• Asi un factor común es 
•  La factorización es 

Factorización por agrupación de términos

son aquellas expresiones que tienen las mismas variables elevadas al mismo exponente, identificar estos términos te ayudará a encontrar justo esos factores del polinomio.

Ejemplos

Ejemplo 1

Factorizar ax + bx + ay + by.

1.       Agrupa: (ax + by) + (ay + by)

2.       Factoriza x y y en cada grupo de paréntesis: x(a+b) + y(a+b)

3.       Extrae (a+b) pues es el factor común: (a+b) (x+y)

Ejemplo 2.

Para factorizar un polinomio por agrupación de términos se debe considerar aquellos polinomios que tengan un numero par de términos 

Se agrupa 

Identificamos el factor común

Así, puedes pensarlo de una manera general como:

Trinomio cuadrado perfecto

El trinomio cuadrado perfecto es un polinomio ordenado de tres términos, donde el primero y tercero tienen raíces cuadradas exactas y el segundo término equivale al doble producto de las raíces del primer y el tercer término.

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe hacer lo siguiente:

Diferencia de cuadrados

Es una diferencia de dos términos elevados al cuadrado de la forma:

O de una manera general como:

Ejemplo

1.       Expresar la literal como una única expresión al cuadrado.

2.       Colocar dos pares de paréntesis, pues cada uno contendrá un factor.

3.      Se extrae la raíz cuadrada al término positivo y ésta será el primer término de cada par de factor.

 

4.       Se extrae la raíz cuadrada del término negativo y ésta será el segundo término de cada factor.

5.       El signo será uno positivo y otro negativo.

Trinomio de la forma x² + bx + c

Tiene tres términos, uno de ellos con exponente al cuadrado y otro es el término independiente. Se resuelve de la siguiente manera:

1.       Se colocan dos pares de paréntesis.

2.       El primer miembro será la raíz cuadrada de la variable.

3.       Y el segundo miembro de cada factor lo conformarán dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pueden ser negativos) den como resultado el otro término.

Ejemplo x² + 7x +10

Solución:

x² + 7x + 10

x: raíz cuadrada del primer término del trinomio

+: Signo del segundo término del trinomio

Aplicando la ley de los signos, al multiplicar signo positivo por signo positivo, resulta signo positivo.

Luego:

5 + 2 = 7 coeficiente del segundo término del trinomio

5x 2 = 10 coeficiente del tercer término del trinomio

De tal manera que: x² + 7x + 10 - (x+5) (x+2)

El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la variable del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente. Veamos un ejemplo de cómo factorizar una expresión de este tipo.

Factoricemos 4x² + 12x + 9

Para esto se realiza lo siguiente: