Variación

   

El estudio de la variación es un aspecto fundamental para el ser humano. Si bien, no toda la gente se dedica a esta práctica desde el punto de vista profesional, lo cierto es que todas las personas en varios momentos se encuentran analizando variaciones en situaciones tan cotidianas como comparar la forma en la que el precio de los productos va cambiando. En este sentido, los individuos poseen por naturaleza formas de pensamiento predeterminadas que les permiten analizar hasta cierto nivel la variación.

No obstante, hay situaciones en las que se requiere de un nivel de pensamiento matemático más sofisticado para analizar la variación. El cálculo es parte de las matemáticas que precisamente ejemplifica este hecho, pues los conocimientos que actualmente conocemos como cálculo, surgieron a partir del estudio de fenómenos complejos en los que la variación y el cambio estaban presentes. Esto permitió el establecimiento de herramientas matemáticas sofisticadas para analizar el cambio y la variación de los fenómenos.

La importancia de construir herramientas o conocimiento que permitan analizar la variación en fenómenos naturales, sociales, económicos, físicos, químicos, entre otros, posibilita realizar prácticas de predicción o anticipación.

Estas dos prácticas son la razón fundamental por la que se estudian los procesos de variación, pues de fondo lo que interesa es anticiparse y poder predecir comportamientos para la toma de decisiones que beneficie a las personas. Por ejemplo, el analizar el comportamiento del crecimiento poblacional para realizar predicciones sobre la cantidad de personas que habrá en cierta región para saber si los recursos serán suficientes para la subsistencia de la población.

        

Para analizar cómo se comporta un fenómeno, es necesario conocer cómo varía dicho fenómeno. Esto puede echar mano de la descripción de un fenómeno, de la tabulación de los valores de las variables involucradas y de cómo es su gráfica. Articulando estos contextos podemos entender mejor los fenómenos.

Como un ejemplo inicial veamos cómo es la función: , cómo crece en comparación a otras funciones ya estudiadas. Para esta función cuadrática realicemos una tabla de valores y luego, localicemos esos valores en una gráfica para ver cómo es:

Crecimiento poblacional.

El crecimiento poblacional o crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto plazo, y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población por unidad de tiempo para su medición. El término crecimiento demográfico puede referirse técnicamente a cualquier especie, pero se refiere casi siempre a seres humanos, y es de uso frecuentemente informal para el término demográfico más específico: tarifa del crecimiento poblacional, y es de uso frecuente referirse específicamente al crecimiento de la población humana mundial.

El crecimiento demográfico es el cambio en la población en un cierto plazo y puede ser cuantificado como el cambio en el número de individuos en una población por unidad de tiempo para su medición.

El crecimiento de la población es el resultado de la dinámica demográfica, es decir, de la interrelación entre los nacimientos, las defunciones y migraciones ocurridas en un determinado período. La población aumenta por efecto de los nacimientos, y de las inmigraciones, y disminuye a causa de las defunciones y emigraciones. Si la suma de los nacimientos y las inmigraciones es mayor que la suma de las muertes y las emigraciones, entonces la población experimenta un crecimiento. Contrariamente, este proceso da como resultado un decrecimiento poblacional (Secretaría de Educación Media Superior, 2011).

Existen herramientas matemáticas que permiten analizar la variación respecto al crecimiento poblacional. A continuación, veremos tales herramientas (Secretaría de Educación Media Superior, 2011). El crecimiento total o global, de una población es la diferencia entre la cantidad de la población en el tiempo y la cantidad de la población al inicio del análisis.

En donde:

·         CT = crecimiento total o global.

·         P₀ = cantidad de la población al inicio del análisis.

·         P_t = cantidad de la población al final del tiempo (t) de análisis.

·         T = tasa de crecimiento poblacional.

Si se considera la tasa de crecimiento anual cuando la comparación es con el año inmediato, se puede utilizar la siguiente expresión.

“r” es una tasa de crecimiento así que es un porcentaje (%) y se manejara en términos decimales. Al informar su valor se acostumbra a dar el número en % por lo que el decimal debe multiplicarse por 100.

Con base en esta idea de la tasa de crecimiento resulta natural pensar que, para calcular la población en un período posterior a otro, bastaría multiplicar la tasa de crecimiento por la población en el período actual.

Por ejemplo, considerando la última pregunta de la actividad anterior, en la que se pide estimar la población de Yucatán para 2020, una manera de responderlo considerando que el aumento será constante sería a partir de lo siguiente:

La población de un período posterior puede entenderse como la suma del aumento con respecto a un período previo más la cantidad de habitantes de este mismo período previo. Es decir:

Consideremos que en el año 2000 la población fue de 1.66 millones de habitantes, mientras que en el 2010 la población fue 1.96 millones. Así:

Por lo tanto, la tasa de crecimiento es de o bien 18.1%. Calculamos entonces el aumento de la población del último registro (2010) con base en dicha tasa:

Ahora, para saber cuál será la población total, sumamos al registro de 2010 el aumento respectivo: .

Por lo tanto, una estimación de la población en Yucatán para el año 2020 sería 2.31 millones de habitantes.

En general, la expresión anterior , puede expresarse también como .

Si quisiéramos predecir la cantidad de habitantes en dos períodos posteriores, tendríamos lo siguiente:

Y considerando que, la expresión anterior quedaría como:

Sustituyendo P1

si se consideran periodos posteriores se verá una recurrencia en la expresión, es decir, siempre aparecerá el factor. La expresión general para una cantidad de periodos está dada por:

Como habrás podido notar, la expresión anterior corresponde a una expresión exponencial y la forma en la que se puede determinar el valor de t es a partir del uso de logaritmos.

Si bies por esta razón es muy común pensar que el crecimiento poblacional siempre responde a un comportamiento exponencial, la realidad es que hay modelos que describen mejor el comportamiento del crecimiento poblacional a largo plazo.

Una curva logística, por ejemplo, tiene una forma como la siguiente:

 

La curva logística muestra que el crecimiento poblacional tiene cuatro tipos de comportamientos asociados y se presenta aproximadamente en cuatro etapas:

1.   Crecimiento temprano con tasa creciente.

2.   Crecimiento intermedio con tasa constante.

3.   Crecimiento tardío con tasa decreciente.

4.   Crecimiento nulo, valor de saturación.