Razones trigonométricas en una circunferencia

Dos corredores realizan una carrera en una glorieta. La distancia a recorres es desde el punto R al punto Q. El corredor 1 recorrerá la trayectoria por el borde de la glorieta y el corredor en línea recta, ambos irán a la misma velocidad, ¿Cuál llegara primero?

Sabemos que la distancia más corta de un lugar a otro es una línea recta, y por ello conocemos que quien llegará primero al punto Q es el corredor 2, pero ¿cómo podemos comprobarlo de forma analítica?

Distancia que avanzará el corredor 1

Para calcular la distancia de la curva formada entre R y Q utilizaremos la fórmula de la longitud de arco (L).

Con base en los datos mostrados en el dibujo anterior, tenemos:

Distancia que avanzará el corredor 2

Observa la figura y notarás que se forman dos triángulos rectángulos OPQ y OPR, de tal forma que con los datos dados tenemos que encontrar la distancia de P a Q (PQ). Debido a que son triángulos congruentes (idénticos), la distancia entre P y R es la misma, de tal manera que sólo calculamos uno y lo duplicamos para saber la distancia de R a Q (QR).

Para calcularla haremos uso de las razones trigonométricas en una circunferencia.

Así:

           

¡Comprobado! El corredor 2 recorre una menor distancia que el corredor 1.