Ecuaciones cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas tienes la forma ax² + bx + c = 0, la cuales se pueden resolver con la fórmula: Es decir, se encuentran las raíces de la ecuación X₁ y X₂, como solución de la función cuadrática.

En la siguiente figura se muestra las raíces de una función cuadrática, x_v el vértice de la ecuación y las distancias entre las raíces.

Para encontrar la solución a una ecuación cuadrática se tienen que sustituir los valores de x₁ y x₂ en las fórmulas. Además de tomar en cuenta que la función cuadrática puede ser cóncava o convexa, lo cual depende del signo de a. Sin embargo, la raíces se siguen obteniendo de la misma manera, sólo deben sustituirse.

Las ecuaciones cuadráticas tienen una gran aplicación en general, no se diga en la física y en las matemáticas. La función cuadrática también se conoce como ecuación de segundo grado, por el grado de su exponente que es dos. En geometría analítica, una función cuadrática es una curva llamada parábola.

Movimiento de proyectiles.

Angry Birds es un juego creado en 2009 por una empresa finlandesa. La diversión consiste en lanzar pájaros, los cuales hacen el papel de proyectiles para derribar a cerditos. La mejor manera para conseguir el objetivo es mediante el tiro parabólico.

Lanzar o disparar un proyectil sigue un curso parabólico. Si conoces la velocidad inicial y el ángulo de elevación del proyectil, puedes encontrar su momento en lo alto, la altura máxima o el rango. También puedes calcular su altitud y la distancia recorrida, si tienes el tiempo.

La figura ofrece la imagen del pájaro del videojuego de Angry Birds como si fuera un proyectil que se dispara a una velocidad inicial de V_0’ , formando un ángulo θ. El pájaro forma una trayectoria la cual en el inicio sube y posteriormente baja. Por lo tanto, hay dos movimientos, Uno con el eje X y otro con el eje Y. La aceleración depende de la gravedad, la cual es negativa porque va hacia abajo, por lo tanto es a=-9.8m/s². Los componentes de la velocidad inicial son:

Esquema de tiro parabólico.

Como el tiro parabólico es la composición de dos movimientos:

• Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X.
• Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y.

En el eje X se tiene que:

Entonces como la posición inicial en el eje X es cero, se tiene x=v_ox cos θ · t

Ahora en el eje Y se tiene:

La cual es la posición de la altura con respecto al tiempo, y se puede expresar en los siguientes términos:

La ecuación de la velocidad:

Entonces:

Es importante precisar que la velocidad es un vector y tiene dos componentes:

Donde:

Entonces la fórmula de la velocidad es:

Ejemplo.

Al lanzar una pelota con un ángulo de 60º respecto al suelo, con una velocidad de 30 m/s. ¿Cual es la altura máxima de la pelota y el alcance máximo al caer al suelo?

Se toma en cuenta:

Lo primero que se hace es descomponer y sustituir las fórmulas:

De lo anterior, se toman las fórmulas:

Se sustituye:

Ahora, se tiene la velocidad en el eje y:

Para calcular la altura máxima, la velocidad de V_y=O, y después a empieza a descender, por lo tanto:

Entonces:

Esto es el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. La altura está dada por:

Al sustituir:

Se obtiene que y=34.44m. Para calcular el alcance máximo se observa que se alcanza donde y=0 y el tiempo es t=2.65. El dobles es t=5.3, ya que esto es todo el tiempo que la pelota está en aire.

Se sustituye en:

Y se obtiene:

También se hace, factorizando la expresión:

Y se obtiene:

Se tienen dos valores t₁=o y t=5.3. El t₁ no es el valor buscado, por lo tanto, se queda el valor t₂=5.3

Ecuaciones cuadráticas

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Una ecuación es una expresión ___________________que consta de dos miembros que son separados por un signo igual

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a. dos

b. los valores de la incógnita

c. algebraica 

d. por factorización o la fórmula general

e. ax + b = c, o bien ax + b = cx + d

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Las ecuaciones lineales tienen una estructura de la forma

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a. dos

b. los valores de la incógnita

c. ax + b = c, o bien ax + b = cx + d 

d. por factorización o la fórmula general

e. algebraica

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Pregunta 3

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Las ecuaciones cuadráticas, o de segundo grado, también tienen una forma muy particular y son llamadas así porque el grado máximo de la expresión es el _________

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a. los valores de la incógnita

b. por factorización o la fórmula general

c. dos 

d. ax + b = c, o bien ax + b = cx + d

e. algebraica

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Pregunta 4

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Texto de la pregunta

La ecuación es una expresión que permite encontrar _______________________ que hacen que se cumpla la relación.

Selecciona una opción:

a. por factorización o la fórmula general

b. los valores de la incógnita 

c. dos

d. algebraica

e. ax + b = c, o bien ax + b = cx + d

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Pregunta 5

Correcta

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Texto de la pregunta

En términos generales hay dos formas de resolver las ecuaciones cuadráticas, a saber:

Selecciona una opción:

a. dos

b. por factorización o la fórmula general 

c. ax + b = c, o bien ax + b = cx + d

d. los valores de la incógnita

e. algebraica

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