Razones y proporciones

Razón es la comparación de dos cantidades, hallando cuantas veces contiene una a la otra, mediante una división. Se conoce como razón geométrica o por cociente.

Ejemplos de razones de números son:

Proporción es la igualdad de dos razones. Y se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”

Proporcionalidad directa.

La proporción se compone por términos extremos y términos medios. Los extremos son el primero y el último términos de la proporción. Y los medios, el segundo y el tercero. Esto es:

a y d son los términos extremos. b y c son los términos medios

La constante de proporcionalidad es el cociente de las razones de una proporción.

y k es la constante de proporcionalidad.

Para saber si dos razones son proporcionales se puede comprobar de dos maneras:

1.       En una proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

2.       Y sabiendo esto, si se desconoce uno de los términos se puede hacer lo siguiente:

donde                X es el valor faltante.        y así para cualquier valor de la proporción que se desconozca.

El procedimiento anterior es la común y muy famosa regla de tres. “El elemento que falta en una proporción es igual al producto de la diagonal conocida entre el que sobra”.

                       

El cociente de las dos razones de una proporción siempre es igual. Recuerda que a ese cociente se le llama K (la constante de proporcionalidad).

Ejemplo.

Calcula la constante de proporcionalidad (k) de las proporciones. Además, completa escribiendo el valor faltante:

De la definición de la constante de proporcionalidad:

Aplicando la regla de tres para calcular el elementos faltante:

Si dos cantidades son tales que a doble, triple, cantidad de la primera corresponde el doble, triple… cantidad de la segunda, entonces se dice que son directamente proporcionales.

Ejemplo.

Reparte 5499 unidades con una proporción directa a las partes 54 y 63. Calcula la cantidad que le corresponde a cada una de las partes.

a)       Una manera es considerar que 5499 se reparten entre 117 partes en total así se pueden hacer las siguientes proporciones,

b)      Otra manera es calculando la constante de proporcionalidad. Esto es:

De ahí que la constante de proporcionalidad es 47. Así, lo que le corresponde a cada parte es:

Proporcionalidad inversa.

Pero la relación entre dos cantidades no siempre ocurre de esta manera, también puede ocurrir que:

Si dos cantidades son tales que, a doble, triple, … cantidad de la primera corresponde el doble, triple, … cantidad de la segunda entonces se dice que son directamente proporcionales.

Ejemplo.

En una empresa se construyen placas de cemento, y se tiene un pedido de 120 placas. Si 10 trabajadores fabricaron 12 placas cada uno ¿Cuántas placas hubiera fabricado cada trabajador si lo hubieran hecho entre los 16 trabajadores habituales de la empresa?

Esto es:

O bien, si sabemos si se conoce la constante de proporcionalidad se realiza lo siguiente:

Entonces la constante de proporcionalidad es 120. De ahí que:

Es decir, dos cantidades son directamente proporcional cuando la constante de proporcionalidad se expresa como , y son inversamente proporcional cuando la constante de proporcionalidad se expresa como .

Las razones y proporciones son una manera de comparar cantidades, la relación que guardan puede además verse como directamente proporcional o inversamente proporcional, esto dependerá de la constante de proporción. Está puede ser  cuando se expresa una proporcionalidad directa, o bien  cuando se expresa una proporcionalidad inversa.